Question

13．在直角坐標系xOy中，以O為原點，Ox軸為極軸，單位長度不變，建立極坐標系，直線l的極坐標方程為：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2（sint+cost）}\\{y=4（1+sin2t）}\end{array}\right.（t為參數(shù)）$
（1）寫出直線l和曲線C的普通方程；
（2）若直線l和曲線C相交于A，B兩點，定點P（-1，2），求線段|AB|和|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）直線l的極坐標方程為：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，展開可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用互化公式可得直角坐標方程．曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2（sint+cost）}\\{y=4（1+sin2t）}\end{array}\right.（t為參數(shù)）$，可得x²=4（1+sin2t）=y，x∈$[-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$．
（2）直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入曲線C的方程可得：${t}^{2}+\sqrt{2}$t-2=0，可得|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+t）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，
|PA|•|PB|=|t₁t₂|．

解答 解：（1）直線l的極坐標方程為：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
展開可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得直角坐標方程：x+y-1=0．
曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2（sint+cost）}\\{y=4（1+sin2t）}\end{array}\right.（t為參數(shù)）$，x²=4（1+sin2t）=y，x∈$[-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$．
（2）直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入曲線C的方程可得：${t}^{2}+\sqrt{2}$t-2=0，
∴t₁+t₂=-$\sqrt{2}$，t₁•t₂=-2．
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+t）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{2+8}$=$\sqrt{10}$，
|PA|•|PB|=|t₁t₂|=2．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程的方法、參數(shù)方程及其應用、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．