Question

【題目】如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四邊形ABCD是直角梯形，其中AB⊥AD，AB=BC=1且AD= AA1=2．

（1）求證：直線C1D⊥平面ACD1；
（2）試求三棱錐A1﹣ACD1的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在梯形ABCD內(nèi)過C點(diǎn)作CE⊥AD交AD于點(diǎn)E，

則由底面四邊形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB=BC=1，

以及 可得：CE=1，且 ，AC⊥CD．

又由題意知CC1⊥面ABCD，從而AC⊥CC1，而CC1∩CD=C，

故AC⊥C1D．

因CD=CC1，及已知可得CDD1C1是正方形，從而C1D⊥CD1．

因C1D⊥CD1，C1D⊥AC，且AC∩CD1=C，

所以C1D⊥面ACD1．

（2）解：因三棱錐A1﹣ACD1與三棱錐C﹣AA1D1是相同的，故只需求三棱錐C﹣AA1D1的體積即可，而CE⊥AD，

且由AA1⊥面ABCD可得CE⊥AA1，又因?yàn)锳D∩AA1=A，

所以有CE⊥平面ADD1A1，即CE為三棱錐C﹣AA1D1的高．

故

【解析】（1）通過證明C1D⊥CD1 ， C1D⊥AC，說明AC與CD1是平面ACD1內(nèi)的兩條相交直線，利用直線與平面垂直的判定定理證明直線C1D⊥平面ACD1；（2）求三棱錐A1﹣ACD1的體積．轉(zhuǎn)化為三棱錐C﹣AA1D1的體積，求出底面面積與高，即可求解棱錐的體積．
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．