【題目】如圖,已知是棱長為3的正方體,點在上,點在上,且,(1)求證: 四點共面; (2)若點在上, ,點在上, ,垂足為,求證: 面; (3)用表示截面和面所成銳二面角大小,求.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)
【解析】試題分析:(1)四點共面問題通常我們將它們變成兩條直線,然后證明這兩條直線平行或相交,根據(jù)公理3的推論2、3可知,它們共面;(2)要證線面垂直,可以證明兩個垂直平面內一條直線垂直兩平面的交線即可;(3)可以證明就是二面角的平面角,在直角三角形中可解得的值.
試題解析:(1)證明:在DD上取一點N使得DN=1,連接CN,EN,顯然四邊形CFDN是平行四邊形,所以DF//CN,同理四邊形DNEA是平行四邊形,所以EN//AD,且EN=AD,又BC//AD,且AD=BC,所以EN//BC,EN=BC,所以四邊形CNEB是平行四邊形,所以
CN//BE,所以DF//BE,所以四點共面。
(2)因為所以∽MBG,所以,即,所以MB=1,因為AE=1,所以四邊形ABME是矩形,所以EM⊥BB又平面ABBA⊥平面BCCB
,且EM在平面ABBA內,所以面
(3)面,所以BF, MH, ,所以∠MHE就是截面和面所成銳二面角的平面角,∠EMH=,所以,ME=AB=3, ∽MHB,所以3:MH=BF:1,BF=,所以MH=,所以=
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【題目】已知為坐標原點,橢圓的左、右焦點分別為上頂點為,右頂點為,以為直徑的圓過點,直線與圓相交得到的弦長為
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓相交于兩點, 與軸, 軸分別相交于兩點,滿足:①記的中點為,且兩點到直線的距離相等;②記的面積分別為若當取得最大值時,求的值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的最小正周期是 ,最小值是﹣2,且圖象經過點( ,0),則f(0)= .
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【題目】已知圓C經過點A(﹣2,0),B(0,2),且圓心C在直線y=x上,又直線l:y=kx+1與圓C相交于P、Q兩點.
(1)求圓C的方程;
(2)若,求實數(shù)k的值;
(3)過點(0,4)作動直線m交圓C于E,F(xiàn)兩點.試問:在以EF為直徑的所有圓中,是否存在這樣的圓P,使得圓P經過點M(2,0)?若存在,求出圓P的方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知命題p:x2+mx+1=0有兩個不等的負根;命題q:4x2+4(m﹣2)x+1=0無實根.若命題p與命題q有且只有一個為真,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】已知關于x不等式x2﹣2mx+m+2<0(m∈R)的解集為M.
(1)當M為空集時,求m的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,求的最大值;
(3)當M不為空集,且M [1,4]時,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】如圖,為了測量正在海面勻速行駛的某船的速度,在海岸上選取距離1千米的兩個觀察
點C、D,在某天10:00觀察到該船在A處,此時測得∠ADC=30°,2分鐘后該船行駛至B處,此時測得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,
求該船航行的速度.
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【題目】如圖,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面四邊形ABCD是直角梯形,其中AB⊥AD,AB=BC=1且AD= AA1=2.
(1)求證:直線C1D⊥平面ACD1;
(2)試求三棱錐A1﹣ACD1的體積.
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【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以原點為極點, 軸正半軸為極軸的極坐標系中,直線的極坐標方程為.
(1)求曲線的普通方程和直線的傾斜角;
(2)設點,直線和曲線交于兩點,求的值.
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