Question

16．已知曲線C₁的極坐標方程為ρ=2cosθ，曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{5}t}\\{y=-2+\frac{3}{5}t}\end{array}}\right.（t$為參數(shù)）．
（1）判斷C₁與C₂的位置關(guān)系；
（2）設(shè)M為C₁上的動點，N為C₂上的動點，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由${C_1}：{ρ^2}=2ρcosθ$，利用互化公式可得直角坐標方程．由曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{5}t}\\{y=-2+\frac{3}{5}t}\end{array}}\right.（t$為參數(shù)），消去參數(shù)化為直角坐標方程．利用點到直線的距離公式可得：圓心C₁（1，0）到3x+4y+8=0的距離d，即可判斷出位置關(guān)系．
（2）利用d-r即可得出．

解答 解：（1）由${C_1}：{ρ^2}=2ρcosθ$，可得直角坐標方程：x²+y²-2x=0，配方為（x-1）²+y²=1．
由曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{5}t}\\{y=-2+\frac{3}{5}t}\end{array}}\right.（t$為參數(shù)），消去參數(shù)化為：3x=-4y-8，
∴C₂的普通方程為3x+4y+8=0．
圓心C₁（1，0）到3x+4y+8=0的距離$d=\frac{{|{3+8}|}}{5}=\frac{11}{5}＞1$，
∴C₁與C₂相離．
（2）${|{MN}|_{min}}=\frac{11}{5}-1=\frac{6}{5}$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．