Question

8．已知的定義域為（0，π），且對定義域的任意x恒有f′（x）sinx＞f（x）cosx成立，則下列關系成立的是（　�。�

• A． f（$\frac{2016π}{2017}$）＞f（$\frac{π}{2017}$）
• B． f（$\frac{2016π}{2017}$）=f（$\frac{π}{2017}$）
• C． f（$\frac{2016π}{2017}$）＜f（$\frac{π}{2017}$）
• D． f（$\frac{2016π}{2017}$）與f（$\frac{π}{2017}$）的大小關系不確定

Answer 1

分析 構造函數g（x）=f（x）sinx，求出導函數，根據題意可判斷g（x）為增函數，可得f（$\frac{2016π}{2017}$）sin$\frac{2016π}{2017}$＞f（$\frac{π}{2017}$）sin$\frac{π}{2017}$，根據誘導公式可得出結論．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，
∴g'（x）＞0恒成立，
∴g（x）定義域內遞增，
∴f（$\frac{2016π}{2017}$）÷sin$\frac{2016π}{2017}$＞f（$\frac{π}{2017}$）÷sin$\frac{π}{2017}$，
∴f（$\frac{2016π}{2017}$）sin$\frac{π}{2017}$＞f（$\frac{π}{2017}$）sin$\frac{2016π}{2017}$，
∴f（$\frac{2016π}{2017}$）＞f（$\frac{π}{2017}$），
故選A．

點評 本題考查了函數的構造和導函數的應用，誘導公式的應用．難點是構造函數．