【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+ax,其中a∈R.
(Ⅰ) 當a=﹣1時,求證:f(x)≤0;
(Ⅱ) 對任意x2≥ex1>0,存在x∈(﹣1,+∞),使 成立,求a的取值范圍.(其中e是自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…)
【答案】解:(Ⅰ)證明:當 a=﹣1時,f(x)=ln(x+1)﹣x(x>﹣1),
則 ,令f'(x)=0,得x=0.
當﹣1<x<0時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
當x>0時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
故當x=0時,函數(shù)f(x)取得極大值,也為最大值,
所以f(x)max=f(0)=0,
所以,f(x)≤0,得證.
(Ⅱ)不等式 ,
即為 .
而
= .
令 .故對任意t≥e,存在x∈(﹣1,+∞),使 恒成立,
所以 ,
設 ,則 ,
設u(t)=t﹣1﹣lnt,知 對于t≥e恒成立,
則u(t)=t﹣1﹣lnt為[e,+∞)上的增函數(shù),
于是u(t)=t﹣1﹣lnt≥u(e)=e﹣2>0,
即 對于t≥e恒成立,
所以 為[e,+∞)上的增函數(shù),
所以 ;
設p(x)=﹣f(x)﹣a,即p(x)=﹣ln(x+1)﹣ax﹣a,
當a≥0時,p(x)為(0,+∞)上的減函數(shù),
且其值域為R,可知符合題意.
當a<0時, ,由p'(x)=0可得 ,
由p'(x)>0得 ,則p(x)在 上為增函數(shù),
由p'(x)<0得 ,則p(x)在 上為減函數(shù),
所以 .
從而由 ,解得 ,
綜上所述,a的取值范圍是
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而證明結論即可;(Ⅱ)令 ,問題轉(zhuǎn)化為 ,設 ,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
【考點精析】關于本題考查的利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知全集U=R,集合A={x|x2﹣x﹣6≤0}, ,那么集合A∩(UB)=( )
A.[﹣2,4)
B.(﹣1,3]
C.[﹣2,﹣1]
D.[﹣1,3]
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB∥DC,AB=2,AD=DC=1,圖中圓弧所在圓的圓心為點C,半徑為 ,且點P在圖中陰影部分(包括邊界)運動.若 =x +y ,其中x,y∈R,則4x﹣y的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知動點 到點 的距離比它到直線 的距離小 ,記動點 的軌跡為 .若以 為圓心, 為半徑( )作圓,分別交 軸于 兩點,連結并延長 ,分別交曲線 于 兩點.
(1)求曲線 的方程;
(2)求證:直線 的斜率為定值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知 為圓 上的動點, 的坐標為 , 在線段 上,滿足 .
(Ⅰ)求 的軌跡 的方程.
(Ⅱ)過點 的直線 與 交于 兩點,且 ,求直線 的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某同學在研究下學習中,關于三角形與三角函數(shù)知識的應用(約定三內(nèi)角,,的對邊分別為,,)得出如下一些結論:
(1)若是鈍角三角形,則;
(2)若是銳角三角形,則;
(3)在三角形中,若,則;
(4)在中,若,,則.其中錯誤命題的個數(shù)是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某種商品在30天內(nèi)每克的銷售價格(元)與時間的函數(shù)圖像是如圖所示的兩條線段,(不包含,兩點);該商品在 30 天內(nèi)日銷售量(克)與時間(天)之間的函數(shù)關系如下表所示.
第天 | 5 | 1 5 | 2 0 | 3 0 |
銷售量克 | 3 5 | 2 5 | 2 0 | 1 0 |
(1)根據(jù)提供的圖象,寫出該商品每克銷售的價格(元)與時間的函數(shù)關系式;
(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)寫出一個反映日銷售量隨時間變化的函數(shù)關系式;
(3)在(2)的基礎上求該商品的日銷售金額的最大值,并求出對應的值.
(注:日銷售金額=每克的銷售價格×日銷售量)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
A. ,y R,若x+y 0,則x 且y
B.a R,“ ”是“a>1”的必要不充分條件
C.命題“ x R,使得 ”的否定是“ R,都有 ”
D.“若 ,則a<b”的逆命題為真命題
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com