【題目】已知函數(shù)．

（1）若在處的切線平行于軸，求的值和的極值；

（2）若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求的取值范圍．

【答案】（Ⅰ），2，-2；（Ⅱ）

【解析】

試題（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由f（x）在x=1處的切線平行于x軸，可得f′（1）=0，由此求a的值，把a值代入導(dǎo)函數(shù)，求得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)函數(shù)定義域分段，列表得到單調(diào)區(qū)間，則f（x）的極值可求；（Ⅱ）設(shè)出切點(diǎn)（t，t3+at），求導(dǎo)數(shù)，利用直線方程點(diǎn)斜式得到切線方程，代入A的坐標(biāo)，化為關(guān)于t的方程，再利用導(dǎo)數(shù)求出關(guān)于t的函數(shù)的極值，由極大值大于0，且極小值小于0聯(lián)立不等式組求得a的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）,

∵在處的切線平行于軸, ∴,即．

∴．令,得．





1



+

0

-

0

+


↗

極大值

↘

極小值

↗

∴,．

（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)為,則切線斜率為,

∴切線方程為, ∵點(diǎn)在切線上,

∴, 即． （*）

于是, 若過點(diǎn)A可作曲線的三條切線, 則方程（*）有三個(gè)相異的實(shí)根根．

記, 則．

當(dāng)時(shí),,是增函數(shù),

當(dāng)時(shí),,是減函數(shù),

當(dāng)時(shí),,是增函數(shù),

∴．

要使方程（*）有三個(gè)相異實(shí)根, 則即．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知兩個(gè)平面垂直，下列命題中錯(cuò)誤的是（　　　�。�

A.兩個(gè)平面內(nèi)分別垂直于交線的兩條直線相互垂直

B.一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個(gè)平面．

C.一個(gè)平面內(nèi)存在直線垂直于另一個(gè)平面

D.一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）當(dāng)的圖像剛好與軸相切時(shí)，設(shè)函數(shù)，其中，求證：存在極小值且該極小值小于.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(2015·湖南)如下圖，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E、F分別是BC、CC1的中點(diǎn).

(1)證明：平面AEF⊥平面B1BCC1；

(2)若直線A1C與平面A1ABB1所成的角為45°，求三棱錐F－AEC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在等腰梯形中，，且，沿翻折使得平面平面，得到四棱錐，若點(diǎn)為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求點(diǎn)到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，x∈R．

（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；

（2）利用函數(shù)單調(diào)性定義證明：在上是增函數(shù)；

（3）若對(duì)任意的x∈R，任意的 恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別為棱BC和棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AC和MN所成的角為（ ）

A. 30° B. 45° C. 90° D. 60°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象( )

A.每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度

B.每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度

C.向左平移個(gè)長(zhǎng)度，再將所得圖象每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>倍(縱坐標(biāo)不變)

D.向左平移個(gè)長(zhǎng)度，再將所得圖象每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>倍(縱坐標(biāo)不變)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使得成立，則稱函數(shù)有“和一點(diǎn)”.

（1）函數(shù)是否有“和一點(diǎn)”？請(qǐng)說明理由；

（2）若函數(shù)有“和一點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求證：有“和一點(diǎn)”.

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