Question

11．某市政府為了引導(dǎo)居民合理用水，決定全面實(shí)施階梯水價(jià)，階梯水價(jià)原則上以住宅（一套住宅為一戶）的月用水量為基準(zhǔn)定價(jià)：若用水量不超過(guò)12噸時(shí)，按4元/噸計(jì)算水費(fèi)；若用水量超過(guò)12噸且不超過(guò)14噸時(shí)，超過(guò)12噸部分按6.60元/噸計(jì)算水費(fèi)；若用水量超過(guò)14噸時(shí)，超過(guò)14噸部分按7.80元/噸計(jì)算水費(fèi)．為了了解全市居民月用水量的分布情況，通過(guò)抽樣，獲得了100戶居民的月用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0，2]，（2，4]，…，（14，16]分成8組，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖．

（Ⅰ）假設(shè)用抽到的100戶居民月用水量作為樣本估計(jì)全市的居民用水情況．
（ i）現(xiàn)從全市居民中依次隨機(jī)抽取5戶，求這5戶居民恰好3戶居民的月用水用量都超過(guò)12噸的概率；
（ⅱ）試估計(jì)全市居民用水價(jià)格的期望（精確到0.01）；
（Ⅱ）如圖2是該市居民李某2016年1～6月份的月用水費(fèi)y（元）與月份x的散點(diǎn)圖，其擬合的線性回歸方程是$\widehaty=2x+33$．若李某2016年1～7月份水費(fèi)總支出為294.6元，試估計(jì)李某7月份的用水噸數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（ i）由題意，從全市居民中依次隨機(jī)抽取5戶，每戶居民月用水量超過(guò)12噸的概率為$\frac{1}{10}$，即可求這5戶居民恰好3戶居民的月用水用量都超過(guò)12噸的概率；
（ⅱ）由題設(shè)條件及月均用水量的頻率分布直方圖，可得居民每月的水費(fèi)數(shù)據(jù)分組與概率分布表，即可估計(jì)全市居民用水價(jià)格的期望（精確到0.01）；
（Ⅱ）求出7月份的水費(fèi)為294.6-240=54.6元．居民月用水量為t噸，相應(yīng)的水費(fèi)為f（t）元，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）（ i）由題意，從全市居民中依次隨機(jī)抽取5戶，每戶居民月用水量超過(guò)12噸的概率為$\frac{1}{10}$，因此這5戶居民恰好3戶居民的月用水用量都這超過(guò)12噸的概率為$P=C_5^3{（\frac{1}{10}）^3}{（\frac{9}{10}）^2}=\frac{81}{10000}$．  …（4分）
（ ii）由題設(shè)條件及月均用水量的頻率分布直方圖，可得居民每月的水費(fèi)數(shù)據(jù)分組與概率分布表如下：

月用水量x（噸）	（0，12]	（12，14]	（14，16]
價(jià)格X（元/噸）	4	4.20	4.60
概率P	0.9	0.06	0.04

所以全市居民用水價(jià)格的期望E（X）=4×0.9+4.2×0.06+4.6×0.04≈4.04噸．…（8分）
（Ⅱ） 設(shè)李某2016年1～6月份的月用水費(fèi)y（元）與月份x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（x_i，y_i）（i=1，2，3，4，5，6），
它們的平均值分別為$\overline x$，$\overline y$，則${x_1}\;+{x_2}+…+{x_6}=21=6\overline x$，又點(diǎn)$（\overline x\;，\;\overline y）$在直線$\widehaty=2x+33$上，所以$\overline y=40$，因此y₁+y₂+…+y₆=240，所以7月份的水費(fèi)為294.6-240=54.6元．
設(shè)居民月用水量為t噸，相應(yīng)的水費(fèi)為f（t）元，則f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{4t，0＜t≤12}\\{6，12＜t≤14}\\{7.8t-48，14＜t≤16}\end{array}\right.$，
t=13，f（t）=6.6×13-31.2=54.6，
∴李某7月份的用水噸數(shù)約為13噸．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的計(jì)算，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．