Question

16．如圖，在邊長為1的等邊△ABC中D、E分別為AB、AC上的點，點A關于直線DE的對稱點A₁恰好在線段BC上，
（1）∠A₁AB=θ∈[0，$\frac{π}{3}$]，用θ表示AD；
（2）求AD長度的最小值．

Answer 1

分析 （1）設∠A₁AB=θ∈[0°，60°]，用余弦定理表示x與y的關系，利用正弦定理求出AA₁，然后用θ表示AD．
（2）通過兩角和的正弦函數(shù)化簡AD的表達式，通過θ的范圍求解三角函數(shù)的最值．

解答 解：（1）設∠A₁AB=θ∈[0°，60°]，
則在△A₁BA中，由正弦定理得，$\frac{A{A}_{1}}{sin60°}$=$\frac{1}{sin（θ+60°）}$，
∴AA₁=$\frac{\sqrt{3}}{2sin（θ+60°）}$
∴AD=$\frac{1}{2}•\frac{A{A}_{1}}{cosθ}$=$\frac{\sqrt{3}}{4sin（θ+60°）cosθ}$ θ∈[0°，60°]；
（2）∵4sin（θ+60°）cosθ=2sinθcosθ+2$\sqrt{3}$cos²θ=sin2θ+$\sqrt{3}$（1+cos2θ）=2sin（2θ+60°）+$\sqrt{3}$．
因為θ∈[0°，60°]
所以2θ+60°∈[60°，180°]∴sin（2θ+60°）∈[0，1]，
4sin（θ+60°）cosθ∈[$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$]，∴AD≥$\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$=2$\sqrt{3}$-3．
∴AD長度的最小值為2$\sqrt{3}$-3，當且僅當θ=$\frac{π}{12}$時取最小值．

點評 本題考查解三角形的知識，正弦定理的應用，兩角和的正弦函數(shù)，三角函數(shù)的最值的求法，考查計算能力．