Question

14．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，左頂點(diǎn)為A（-2，0）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B，C是橢圓E上的兩點(diǎn)，連接AB的直線平行OC交y軸于點(diǎn)D，證明：|AB|$，\;\;\sqrt{2}|{OC}|\;\;，\;\;|{AD}$|成等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）由$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，a=2得，$c=b=\sqrt{2}$，即可得出．
（2）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），OC：y=kx，則AB：y=k（x+2），將y=k（x+2）代入橢圓方程整理得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式可得：|AB|，|AD|．將y=kx代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，整理得（1+2k²）x²-4=0，可得|OC|²．可得|AB|•|AD|=2|OC|²，即可證明．

解答 解：（1）由$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，a=2得$c=b=\sqrt{2}$，
故橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．
證明有：（2）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），OC：y=kx，則AB：y=k（x+2），
將y=k（x+2）代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，整理得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0，
∴$-2{x_1}=\frac{{8{k^2}-4}}{{1+2{k^2}}}$，得${x_1}=\frac{{2-4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，
$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}+2}|=\frac{{4\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+2{k^2}}}$，$|{AD}|=\sqrt{1+{k^2}}|{0+2}|=2\sqrt{1+{k^2}}$，
$|{AB}|•|{AD}|=\frac{{8（{1+{k^2}}）}}{{1+2{k^2}}}$．
將y=kx代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，整理得（1+2k²）x²-4=0，
得$x_2^2=\frac{4}{{1+2{k^2}}}$，${|{OC}|^2}=（{1+{k^2}}）x_2^2=\frac{{4（{1+{k^2}}）}}{{1+2{k^2}}}$．
故|AB|•|AD|=2|OC|²，
所以，$|{AB}|，\sqrt{2}|{OC}|，|{AD}|$成等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．