Question

數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=

3

2

n2-

1

2

n，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設C_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）先利用公式法求數(shù)列{a_n}的通項公式，再求{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）C_n=a_nb_n=（3n-2）•

1

3n-1

，利用錯位相減法求和．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=

3

2

n2-

1

2

n，
∴n=1時，a₁=s₁=

3

2

-

1

2

=1，
n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=（

3

2

n2-

1

2

n）-[

3

2

（n-1）²-

1

2

（n-1）]=3n-2，
∴上式對n=1時也成立，
∴a_n=3n-2．
∵a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁
∴q=

b2

b1

=

1

a2-a1

=

1

3

，
∴b_n=1×(

1

3

)n-1=

1

3n-1

（Ⅱ）C_n=a_nb_n=（3n-2）•

1

3n-1

，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=1•

1

30

+4•

1

31

+7•

1

32

+…+（3n-2）•

1

3n-1

，

1

3

T_n=1•

1

31

+4•

1

32

+…+（3n-5）•

1

3n-1

+（3n-2）•

1

3n

，
兩式作差得

2

3

T_n=1•

1

30

+3（

1

31

+

1

32

+…+

1

3n-1

）-（3n-2）•

1

3n

=1+3×

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-（3n-2）•

1

3n

=

5

2

-

1

2×3n-2

-

3n-2

3n

，
∴T_n=

15

4

-

6n+5

12×3n-2

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．