【題目】是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),,已知函數(shù),.
(1)若函數(shù)有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)對(duì)于,證明:當(dāng)時(shí),.
【答案】(1)(2)證明見解析
【解析】
(1)函數(shù)有零點(diǎn)等價(jià)于對(duì)應(yīng)方程有實(shí)數(shù)解,進(jìn)而分離參數(shù),并通過構(gòu)造函數(shù),結(jié)合求導(dǎo),利用函數(shù)的單調(diào)性來確定其最值,從而得以確定參數(shù)的范圍;(2)通過所要證明的不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式問題,通過分類討論分別加以證明,構(gòu)造函數(shù)并求導(dǎo),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與最值來證明與轉(zhuǎn)化.
(1)由函數(shù)有零點(diǎn)知,方程有實(shí)數(shù)解,因?yàn)?/span>,所以.設(shè),,
則的取值范圍轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的值域.
因?yàn)?/span>,所以當(dāng),時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,
故函數(shù)在時(shí),取得最大值,
又上,,所以函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>,.當(dāng)時(shí),,
所以函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>,.
從而函數(shù)有零點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍為,
(2)可以轉(zhuǎn)化為證明兩個(gè)不等式①,②.
設(shè),所以,
當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),
,函數(shù)在上單調(diào)遞增.故函數(shù)在時(shí),取得最小值
,所以.
得證①
設(shè),有,當(dāng)時(shí),.函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),函數(shù),在上單調(diào)遞增.
故函數(shù)在時(shí),取得最小值.
所以,得.(僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))
又由為增函數(shù),得②.
合并①②得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】三個(gè)幾何體組合的正視圖和側(cè)視圖均為如下圖所示,則下列圖中能作為俯視圖的個(gè)數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
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【題目】已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小,為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)過點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線交于、兩點(diǎn),求的面積;
(2)設(shè)為曲線上任意一點(diǎn),點(diǎn),是否存在垂直于軸的直線,使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在,求出的方程和定值;若不存在,說明理由.
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【題目】已知拋物線 和點(diǎn)D(2,0),直線 與拋物線C交于不同兩點(diǎn)A、B,直線BD與拋物線C交于另一點(diǎn)E.給出以下判斷:
①直線OB與直線OE的斜率乘積為-2; ②軸; ③以BE為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相切;
其中,所有正確判斷的序號(hào)是( )
A.①②③B.①②C.①③D.②③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線C上每一點(diǎn)到直線l:的距離比它到點(diǎn)的距離大1.
(1)求曲線C的方程;
(2)曲線C任意一點(diǎn)處的切線m(不含x軸)與直線相交于點(diǎn)M,與直線l相交于點(diǎn)N,證明:為定值,并求此定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的離心率,且圓過橢圓的上,下頂點(diǎn).
(1)求橢圓的方程.
(2)若直線的斜率為,且直線交橢圓于、兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn),判斷直線與的斜率之和是否為定值,如果是,請(qǐng)求出此定值:如果不是,請(qǐng)說明理.
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【題目】某校100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績分組區(qū)間如下:
組號(hào) | 第一組 | 第二組 | 第三組 | 第四組 | 第五組 |
分組 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
(1)求圖中a的值;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的平均分;
(3)現(xiàn)用分層抽樣的方法從第3、4、5組中隨機(jī)抽取6名學(xué)生,將該樣本看成一個(gè)總體,從中隨機(jī)抽取2名,求其中恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于90分的概率.
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【題目】某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù),加工出來的產(chǎn)品(單位:件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A,B,C,D四個(gè)等級(jí).加工業(yè)務(wù)約定:對(duì)于A級(jí)品、B級(jí)品、C級(jí)品,廠家每件分別收取加工費(fèi)90元,50元,20元;對(duì)于D級(jí)品,廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件,乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù),在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品,并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級(jí),整理如下:
甲分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表
等級(jí) | A | B | C | D |
頻數(shù) | 40 | 20 | 20 | 20 |
乙分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表
等級(jí) | A | B | C | D |
頻數(shù) | 28 | 17 | 34 | 21 |
(1)分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率;
(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤,以平均利潤為依據(jù),廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),曲線在點(diǎn)(,f())處的切線與y軸垂直.
(1)求b.
(2)若有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn),證明:所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.
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