【題目】已知曲線C上每一點到直線l的距離比它到點的距離大1.

1)求曲線C的方程;

2)曲線C任意一點處的切線m(不含x軸)與直線相交于點M,與直線l相交于點N,證明:為定值,并求此定值.

【答案】1;(2)證明見解析,為定值0.

【解析】

1)利用拋物線的定義可得曲線是頂點在原點,軸為對稱軸,為焦點的拋物線,從而求出曲線的方程;

2)依題意,切線的斜率存在且不等于0,設切線的方程為:,與拋物線方程聯(lián)立,利用△得到,故切線的方程可寫為,進而求出點的坐標,用坐標表達出,即可證得為定值.

解:(1)由題意可知,曲線C上每一點到直線的距離等于該點到點的距離,

曲線C是頂點在原點,y軸為對稱軸,為焦點的拋物線.

曲線C的軌跡方程為:.

2)依題設,切線m的斜率存在且不等于零,設切線m的方程為

),

代入,即.

,化簡整理得.

故切線m的方程可寫為.

分別令,M,N的坐標為,

.

.

為定值0.

練習冊系列答案
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