【題目】已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小為坐標(biāo)原點(diǎn).

1)過點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線交于、兩點(diǎn),求的面積;

2)設(shè)為曲線上任意一點(diǎn),點(diǎn),是否存在垂直于軸的直線,使得被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值?若存在,求出的方程和定值;若不存在,說明理由.

【答案】1;(2)直線存在,其方程為,定值為.

【解析】

1)利用拋物線的定義可求得曲線的方程,由題意可得直線的方程為,設(shè)點(diǎn),將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,利用三角形的面積公式可求得的面積;

2)假設(shè)滿足條件的直線存在,其方程為,并設(shè)點(diǎn),求出以為直徑的圓的方程,將代入圓的方程,求出弦長(zhǎng)的表達(dá)式,進(jìn)而可求得的值,由此可求得直線的方程.

1)依題意得,曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等,

所以曲線的方程為:.

過點(diǎn)且傾斜角為的直線方程為,

設(shè),聯(lián)立,得

,,則;

2)假設(shè)滿足條件的直線存在,其方程為,設(shè)點(diǎn),

則以為直徑的圓的方程為

將直線代入,得,

設(shè)直線與以為直徑的圓的交點(diǎn)為、

,,

于是有,

當(dāng),即時(shí),為定值.

故滿足條件的直線存在,其方程為.

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【題目】如圖,已知三棱柱中,側(cè)棱與底面垂直,且,,分別是、的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且.

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1)若從這6名密切接觸者中隨機(jī)抽取3名,求抽到感染者的概率;

2)血液化驗(yàn)確定感染者的方法有:逐一化驗(yàn);分組混合化驗(yàn):先將血液分成若干組,對(duì)組內(nèi)血液混合化驗(yàn),若化驗(yàn)結(jié)果呈陰性,則該組血液不含病毒;若化驗(yàn)結(jié)果呈陽性,則對(duì)該組的備份血液逐一化驗(yàn),直至確定感染者.

i)采取逐一化驗(yàn),求所需檢驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望;

ii)采取平均分組混合化驗(yàn)(每組血液份數(shù)相同),依據(jù)所需化驗(yàn)總次數(shù)的期望,選擇合理的平均分組方案.

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1)若a,b,求cosB

2)求sinA+B+sinBcosB+cosBA)的最大值.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.

1)求曲線的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;

2)已知曲線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)是曲線的交點(diǎn),點(diǎn)是曲線的交點(diǎn),、均異于原點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)的值.

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【題目】已知函數(shù).

(1)若,則當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性;

(2)若,且當(dāng)時(shí),不等式在區(qū)間上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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(Ⅰ)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;

(Ⅱ)若,,求實(shí)數(shù)的最小值;

(Ⅲ)當(dāng)時(shí),給出一個(gè)新數(shù)列,其中,設(shè)這個(gè)新數(shù)列的前項(xiàng)和為,若可以寫成,,)的形式,則稱為“指數(shù)型和”.問中的項(xiàng)是否存在“指數(shù)型和”,若存在,求出所有“指數(shù)型和”;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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