Question

3．經(jīng)過點M（-2，-4）且傾斜角為45°的直線l與拋物線C：y²=2px（p＞0）交于A、B兩點，|MA|、|AB|、|BM|成等比數(shù)列．
（Ⅰ）寫出直線l的參數(shù)方程；
（Ⅱ）求p的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)傾斜角為45°，即參數(shù)為$\frac{\sqrt{2}}{2}t$，可得直線l的參數(shù)方程．
（Ⅱ）把參數(shù)方程代入y²=2px，直線參數(shù)方程的幾何意義求解即可．

解答 解：（Ⅰ）過點M（-2，-4）且傾斜角為45°，設參數(shù)為t，則直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（Ⅱ）把參數(shù)方程代入y²=2px，得${t^2}-（2\sqrt{2}p+8\sqrt{2}）t+32+8p=0$，${t_1}+{t_2}=2\sqrt{2}p+8\sqrt{2}$，t₁t₂=32+8p，
根據(jù)直線參數(shù)的幾何意義，可得|MA||MB|=|t₁t₂|=32+8p，
那么：$|AB{|^2}={（{t_1}-{t_2}）^2}={（{t_1}+{t_2}）^2}-4{t_1}{t_2}={（2\sqrt{2}p+8\sqrt{2}）^2}-4（32+8p）=8p（p+4）$，
∵|MA|、|AB|、|BM|成等比數(shù)列，
∴|AB|²=|MA||MB|，8p（p+4）=32+8p，p＞0．
故得p=1．

點評 本題考查了直線l的參數(shù)方程的求法以及直線參數(shù)方程的幾何意義，屬于中檔題．