Question

12．已知函數f（x）=alnx+x²-（a+2）x恰有兩個零點，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A． （-1，+∞）
• B． （-2，0）
• C． （-1，0）
• D． （-2，-1）

Answer 1

分析 求出函數的定義域，求出原函數的導函數，對a分類求出函數的單調區(qū)間，求得極值，結合函數f（x）=alnx+x²-（a+2）x恰有兩個零點列式求得a的范圍．

解答 解：函數定義域為x＞0，且f′（x）=2x-（a+2）+$\frac{a}{x}$=$\frac{（2x-a）（x-1）}{x}$．
①當a=0時，f（x）=x²-2x，在（0，+∞）上僅有一個零點，不合題意；
②當a＜0，即$\frac{a}{2}$＜0時，令f'（x）＜0，得0＜x＜1，函數f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，1），
令f'（x）＞0，得x＞1，函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（1，+∞）．
∴f（x）的極小值也就是f（x）在（0，+∞）上的最小值為f（1）=1-a-2=-a-1，
∵當x→0時，f（x）→+∞，
∴要使函數f（x）=alnx+x²-（a+2）x恰有兩個零點，則-a-1＜0，即a＞-1，
∴-1＜a＜0；
③當0＜$\frac{a}{2}$＜1，即0＜a＜2時，令f'（x）＞0，得0＜x＜$\frac{a}{2}$或x＞1，
函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，$\frac{a}{2}$），（1，+∞）．
令f'（x）＜0，得$\frac{a}{2}$＜x＜1，函數f（x）的單調遞減區(qū)間為（$\frac{a}{2}$，1）．
f（x）的極大值為f（$\frac{a}{2}$）=$aln\frac{a}{2}+\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{{a}^{2}}{2}-a=aln\frac{a}{2}+\frac{{a}^{2}}{2}-a$＜0，極小值為f（1）=1-a-2=-a-1＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上僅有一個零點，不合題意；
④當$\frac{a}{2}$=1，即a=2時，f'（x）≥0恒成立，函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，+∞），不可能有兩個零點，不合題意；
⑤當$\frac{a}{2}$＞1，即a＞2時，令f'（x）＞0，得0＜x＜1或x＞$\frac{a}{2}$，
函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，1），（$\frac{a}{2}$，+∞）．
令f'（x）＜0，得1＜x＜$\frac{a}{2}$，函數f（x）的單調遞減區(qū)間為（1，$\frac{a}{2}$）．
f（x）的極大值為f（1）=1-a-2=-a-1＜0，極小值f（$\frac{a}{2}$）=$aln\frac{a}{2}+\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{{a}^{2}}{2}-a=aln\frac{a}{2}+\frac{{a}^{2}}{2}-a$＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上僅有一個零點，不合題意．
綜上，函數f（x）=alnx+x²-（a+2）x恰有兩個零點，則實數a的取值范圍是（-1，0）．
故選：C．

點評 本題考查函數零點的判定，訓練了利用導數研究函數的單調性，體現了分類討論的數學思想方法，是中檔題．