Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，過橢圓上一點作傾斜角互補的兩條直線，分別交橢圓于不同兩點、.

（Ⅰ）求證：直線的斜率為一定值；

（Ⅱ）若直線與軸的交點滿足：，求直線的方程；

（Ⅲ）若在橢圓上存在關于直線對稱的兩點，求直線在軸上截距的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）設橢圓方程為由

所以橢圓方程為．   …………………………………………………3分

設直線方程為，則直線的方程為，

，

.…………6分

另解：設直線方程為,

由消去得,，

設，則，

因為直線的傾斜角互補，所以，，

，

，，解得.

所以直線的斜率為一定值.

（參照上一解法評分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可設直線方程為，則，設，則

由得.

由，,

解得，所以直線方程為.    …………………………………10分

（Ⅲ）設為橢圓上關于直線對稱的兩點，則

設中點為,則,

由得，

又,所以

由點在橢圓內知，，，解得，

即為直線在軸上截距的取值范圍.