Question

16．已知直線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{4}{5}t\\ y=1-\frac{3}{5}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C₂：ρ=4cosθ
（1）將C₁與C₂化成普通方程與直角坐標方程；
（2）求直線C₁被曲線C₂所截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）直線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{4}{5}t\\ y=1-\frac{3}{5}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程．曲線C₂：ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ代入可得C的直角坐標方程．
（2）求出圓心到直線的距離d．可得直線C₁被曲線C₂所截得的弦長=2$\sqrt{{r}^{2}-kjgkcfe^{2}}$．

解答 解：（1）直線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{4}{5}t\\ y=1-\frac{3}{5}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程：3x+4y=7．
曲線C₂：ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，化為直角坐標方程：x²+y²=4x，配方為  C₂：（x-2）²+y²=4，可得圓心（2，0），半徑r=2．
（2）圓心到直線的距離d=$\frac{|6-7|}{5}$=$\frac{1}{5}$．
∴直線C₁被曲線C₂所截得的弦長=2$\sqrt{{r}^{2}-jiauh2q^{2}}$=2$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{1}{5}）^{2}}$=$\frac{{6\sqrt{11}}}{5}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式、直線與圓相交弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．