Question

13．若函數(shù)f（x）=log_a（x³-2x）（a＞0且a≠1）在區(qū)間（-$\sqrt{2}$，-1）內(nèi)恒有f（x）＞0，則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（　�。�

• A． （-∞，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，+∞）
• B． （-$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），（$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （-$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，+∞）
• D． （-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$）

Answer 1

分析 求函數(shù)的定義域，利用換元法結(jié)合條件判斷a的取值范圍，利用復合函數(shù)和導數(shù)即可求出函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間

解答 解：令t=g（x）=x³-2x=x•（x-$\sqrt{2}$）•（x+$\sqrt{2}$）＞0，
求得-$\sqrt{2}$＜x＜0，或x＞$\sqrt{2}$，
故函數(shù)的定義域為（-$\sqrt{2}$，0）∪（$\sqrt{2}$，+∞）．
∵g′（t）=3x²-2，當-$\sqrt{2}$＜x＜-1時，g′（t）＞0，
此時函數(shù)g（t）為增函數(shù)，
則0＜g（t）＜1，
若a＞1，則y=log_at＜0恒成立，則不滿足條件f（x）＞0，
若0＜a＜1，則y=log_at＞0恒成立，滿足條件，即0＜a＜1，
要求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，
即求函數(shù)t=g（t）=x³-2x的遞增區(qū)間．
由g′（t）=3x²-2＞0得x＜-$\frac{\sqrt{6}}{3}$或x＞$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵-$\sqrt{2}$＜x＜0或x＞$\sqrt{2}$，
∴-$\sqrt{2}$＜x＜-$\frac{\sqrt{6}}{3}$或x＞$\sqrt{2}$，
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），（$\sqrt{2}$，+∞），
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解決，利用換元法以及導數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．考查學生的運算和推理能力，屬于難題．