Question

2．已知過兩點A（5，0）和$B（{0，-\frac{5}{2}}）$的直線l₁與直線l₂：x+2y+3=0相交于點M．
（Ⅰ）求以點M為圓心且過點B（4，-2）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程C；
（Ⅱ）求過點N（1，1）且與圓C相切的直線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出點M的坐標(biāo)，圓的半徑，即可求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程C；
（Ⅱ）利用點到直線的距離公式，求出斜率，即可求過點N（1，1）且與圓C相切的直線方程．

解答 解：（Ⅰ）依題意，得直線l₁的方程為 $\frac{x}{5}+\frac{y}{{-\frac{5}{2}}}=1$，即x-2y-5=0．（2分）
由$\left\{\begin{array}{l}x+2y+3=0\\ x-2y-5=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-2\end{array}\right.$，即點M的坐標(biāo)為M（1，-2）．（4分）
設(shè)圓C的半徑為r，則r²=|BM|²=（4-1）²+（-2+2）²=9．（5分）
所以，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+（y+2）²=9．（6分）
（Ⅱ）設(shè)點N（1，1）且與圓C相切的直線方程的斜率為k，
則直線方程為kx-y+1-k=0．（7分）
由$\frac{{|{k+2+1-k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=3$，得k=0．         （9分）
所以y=1是圓C的一條切線方程．（10分）
又∵點N（1，1）在圓C：（x-1）²+（y+2）²=9上，
∴圓C的切線方程只有一條，即y=1．（11分）

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．