Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其左、右焦點分別為F₁、F₂，過F₁作直線交橢圓于P、Q兩點，△F₂PQ的周長為4

3

．
（1）若橢圓的離心率e=

3

3

，求橢圓的方程；
（2）若M為橢圓上一點，

MF1

•

MF2

=1，求△MF₁F₂的面積最大時的橢圓方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用△F₂PQ的周長為4

3

，求出a，利用橢圓的離心率e=

3

3

，求出c，即可求橢圓的方程；
（2）利用

MF1

•

MF2

=1，得x₀²+y₀²=c²+1，結(jié)合b²x₀²+a²y₀²=a²b²，可得c²＜2，進而可得1≤c²＜2，表示出△MF₁F₂的面積，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求最大值，從而得到橢圓方程．

解答： 解：（1）∵△F₂PQ的周長為4

3

，∴4a=4

3

，
∴a=

3

，
又∵橢圓的離心率e=

3

3

，∴c=1，
∴b=

a2-c2

=

2

，
∴橢圓的方程為

x2

3

+

y2

2

=1…（4分）
（2）設(shè)M（x₀，y₀），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c＞0），
由

MF1

•

MF2

=1，得x₀²+y₀²=c²+1 ①…（6分）
又b²x₀²+a²y₀²=a²b²②…（7分）
由 ①②可得y₀²=

2b2-b2c2

c2

=

(a2-c2)(2-c2)

c2

…（8分）
∵y₀²＞0，∴c²＜2．
又由①可知x₀²+y₀²=c²+1≥b²=a²-c²=3-c²，
∴c²≥1，
∴1≤c²＜2．…（10分）
△MF₁F₂的面積=

1

2

•2c|y₀|=

c4-5c2+6

=

(c2- 5 2 )2- 1 4

由函數(shù)單調(diào)性知僅當c²=1時△MF₁F₂的面積有最大值

2

，
此時b=

a2-c2

=

2

…（11分）
∴所求的橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1…（12分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查橢圓的定義與幾何性質(zhì)，考查三角形面積的計算，屬于中檔題