Question

15．已知P是△ABC內(nèi)的一點（不含邊界），且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2$\sqrt{3}$，∠BAC=30°若△PBC，△PAB，△PCA的面積分別為x，y，z，記h（x，y，z）=$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$+$\frac{9}{z}$，則h（x，y，z）的最小值為（　�。�

• A． 26
• B． 32
• C． 36
• D． 48

Answer 1

分析 由向量的數(shù)量積公式和三角形的面積公式可得x+y+z=1，再根據(jù)基本不等式即可求出答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•cos30°=2$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=4．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•sin30°=1=x+y+z．
∴f（x，y，z）=$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$+$\frac{9}{z}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$+$\frac{9}{z}$）（x+y+z）
=1+4+9+$\frac{4x}{y}$+$\frac{y}{x}$+$\frac{9x}{z}$+$\frac{z}{x}$+$\frac{4z}{y}$+$\frac{9y}{z}$≥14+4+6+12=36，
即f（x，y，z）的最小值為36，
故選：C．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，基本不等式的應用，屬于中檔題．