Question

6．如圖，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF平行且等于2CE，G是線段BF上的一點，AB=AF=BC=2．
（1）當(dāng)GB=GF時，求證：EG∥平面ABC；
（2）求二面角E-BF-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中點D，連接GD，CD，利用中位線定理證明四邊形CEGD是平行四邊形，從而EG∥CD，得出EG∥平面ABC；
（2）建立空間坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，計算法向量的夾角即可得出二面角的大�。�

解答 （1）證明：取AB的中點D，連接GD，CD，
∵G是FB的中點，D是AB的中點，
∴GD$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AF，又CE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AF，
∴GD$\stackrel{∥}{=}$CE，
∴四邊形CEGD是平行四邊形，
∴EG∥CD，又CD?平面ABC，GE?平面ABC，
∴EG∥平面ABC．
（2）解：∵AF⊥AC，平面ACEF⊥平面ABC，平面ACEF∩平面ABC=AC，AF?平面ACEF，
∴AF⊥平面ABC，∵BC?平面ABC，
∴AF⊥BC，又AB⊥BC，AF∩AB=A，
∴BC⊥平面ABF，
以B為原點，以BC為x軸，以BA為y軸建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，
則B（0，0，0），E（2，0，1），F(xiàn)（0，2，2），
∴$\overrightarrow{BE}$=（2，0，1），$\overrightarrow{BF}$=（0，2，2），
設(shè)平面BEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+z=0}\\{2y+2z=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，2，-2），
又BC⊥平面ABF，∴$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）是平面ABF的一個法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1•3}$=$\frac{1}{3}$，
∵二面角E-BF-A為銳二面角，
二面角E-BF-A的余弦值為$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，空間向量與空間角的計算，屬于中檔題．