Question

13．已知f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+a+2}{{2}^{x}+1}$（x∈R），若f（x）滿足f（-x）=-f（x）．
（1）求實數a的值；
（2）證明f（x）是R上的單調減函數（定義法）．

Answer 1

分析 （1）由題意可得函數f（x）為奇函數，故有f（0）=0，求得a=-1，可得f（x）的解析式．
（2）在R任取兩個實數x₁和x₂，且x₁＜x₂，證明f（x₁）＞f（x₂），即可證得f（x）在R上單調遞減．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+a+2}{{2}^{x}+1}$（x∈R），若f（x）滿足f（-x）=-f（x），故函數f（x）為奇函數，
故有f（0）=0，即$\frac{2a+2}{2}$=0，∴a=-1，f（x）=$\frac{1{-2}^{x}}{1{+2}^{x}}$=-$\frac{{2}^{x}+1-2}{{2}^{x}+1}$=-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$．
（2）在R上任取兩個數x₁、x₂，且x₁＜x₂，
 f（x₁）-f（x₂）=（-1+$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）-（-1+$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）=$\frac{2•{（2}^{{x}_{2}}{-2}^{{x}_{1}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）•{（2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴0＜${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，∴${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$＞0，${2}^{{x}_{1}}$+1＞0，${2}^{{x}_{2}}$+1＞0，
∴$\frac{2•{（2}^{{x}_{2}}{-2}^{{x}_{1}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）•{（2}^{{x}_{2}}+1）}$＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即 f（x₁）＞f（x₂），
故函數f（x）在R上單調遞減．

點評 本題主要考查函數的奇偶性的定義和性質，用定義證明函數的單調性，屬于基礎題．