Question

已知函數(shù)f（x）=

3x+a

3x-1

．
（1）求f（x）的定義域；
（2）當a為何值時，f（x）為奇函數(shù)；
（3）討論（2）中函數(shù)的單調(diào)性．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求f（x）的定義域；
（2）根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出a的值；
（3）根據(jù)分式函數(shù)的性質(zhì)即可判斷函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）要使函數(shù)f（x）有意義，則3^x-1≠0，即x≠0，即f（x）的定義域為{x|x≠0}；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），即

3-x+a

3-x-1

=

1+a•3x

1-3x

=-

3x+a

3x-1

．
即1+a•3^x=3^x+a，解得a=1；
（3）∵f（x）=

3x+a

3x-1

=

3x-1+a+1

3x-1

=1+

a+1

3x-1

=1+

2

3x-1

，
若x＞0，則函數(shù)y=3^x-1＞0，且函數(shù)單調(diào)遞增，

2

3x-1

單調(diào)遞減，則函數(shù)f（x）=1+

2

3x-1

單調(diào)遞減，
若x＜0，則函數(shù)y=3^x-1＜0，且函數(shù)單調(diào)遞增，

2

3x-1

單調(diào)遞減，則函數(shù)f（x）=1+

2

3x-1

單調(diào)遞減，
綜上函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．