已知平行四邊形ABCD中，|
AB
|=4，|
AD
|=6，∠DAB=
π
3
，
AE
=
2
3
AD
，
DF
=
FC
．
（1）求
AF
•
BE
的值．
（2）求向量
AF
與向量
BE
的夾角θ的余弦值．
考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（1）由條件求得
AB
•
AD
 的值，可得
AF
•
BE
=（
AD
+
1
2
AB
）•（
2
3
AD
-
AB
） 的值．
（2）先求得|
AF
|=
(
AD
+
1
2
AB
)2
和|
BE
|=
(
2
3
AD
-
AB
)2
的值，可得cosθ=
AF
•
BE
|
AF
|•|
BE
|
 的值．
解答： 解：（1）由題意可得，
AB
•
AD
=4×6×cos
π
3
=12，
AF
•
BE
=（
AD
+
DF
）•（
AE
-
AB
）=（
AD
+
1
2
AB
）•（
2
3
AD
-
AB
）
=
2
3
AD
2-
1
2
AB
2-
2
3
AB
•
AD
=24-8-8=8．
（2）由于|
AF
|=
(
AD
+
1
2
AB
)2
=
AD
2+
AB
2
4
+
AB
•
AD
=2
13
，
|
BE
|=|
2
3
AD
-
AB
|=
(
2
3
AD
-
AB
)2
=4，
故向量
AF
與向量
BE
的夾角θ的余弦值cosθ=
AF
•
BE
|
AF
|•|
BE
|
=
8
2
13
×4
=
13
13
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，用數(shù)量積表示兩個(gè)兩個(gè)向量的夾角，屬于較基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

過(guò)已知點(diǎn)A（2，3），B（1，5）的直線AB的斜率是（　�。�
A、2
B、-2
C、
1
2
D、-
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn=2an-n，（n∈N*）
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若bn=（2n+1）an+2n+1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求滿足不等式
Tn-2
2n-1
≥128的最小n值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-
1
3
x3+4x-4．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，曲線C1是以原點(diǎn)O為中心、F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓的一部分，曲線C2是以O(shè)為頂點(diǎn)、F2為焦點(diǎn)的拋物線的一部分，A是曲線C1和C2的交點(diǎn)且∠AF2F1為鈍角，我們把由曲線C1和曲線C2合成的曲線C稱為“月蝕圓”．若|AF1|=7，|AF2|=5．
（Ⅰ）求曲線C1和C2所在的橢圓和拋物線方程；
（Ⅱ）過(guò)F2作一條與x軸相交的直線l，分別與“月蝕圓”依次交于B、C、D、E四點(diǎn)，
（1）當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，求
|CD|
|BE|
的值；
（2）當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，若G為CD中點(diǎn)、H為BE中點(diǎn)，問(wèn)
|CD|•|HF2|
|BE|•|GF2|
是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）畫(huà)出不等式組
x-4y≤-4  
3x+5y≤15  
x≥1  
表示的平面區(qū)域．
（2）A={x|x2-x-6＜0}，B={x|x2+2x-8＞0}，求A∩B．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求函數(shù)f（x）=x3-3x2在區(qū)間[-1，5]上的最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），它的一個(gè)頂點(diǎn)為M（0，1），離心率e=
6
3
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為k1，k2，且k1+k2=3．求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)，并求出直線AB的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

雙曲線E與橢圓
x2
25
+
y2
16
=1有公共焦點(diǎn)，且離心率為
3
2
．
（1）求雙曲線E的方程；
（2）若斜率為1的直線l交雙曲線E于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=4
30
，求l方程．

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