Question

20．已知Rt△ABC，點D為斜邊BC的中點，|$\overrightarrow{AB}$|=6$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{AC}$|=6，$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{ED}$，則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{EB}$等于（　�。�

• A． -14
• B． -9
• C． 9
• D． 14

Answer 1

分析 運用向量中點表示形式，結合條件可得$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），再由向量的加減運算可得$\overrightarrow{EB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AC}$，再由向量的數(shù)量積的性質：向量的平方即為模的平方，以及向量垂直的條件：數(shù)量積為0，計算即可得到所求值．

解答 解：Rt△ABC，點D為斜邊BC的中點，|$\overrightarrow{AB}$|=6$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{AC}$|=6，
可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，$\overrightarrow{AB}$²=|$\overrightarrow{AB}$|²=108，$\overrightarrow{AC}$²=|$\overrightarrow{AC}$|²=36，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{ED}$，可得$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$
=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
$\overrightarrow{EB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AC}$，
可得$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{EB}$=$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•（$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AC}$）
=$\frac{1}{36}$（5$\overrightarrow{AB}$²-$\overrightarrow{AC}$²+4$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{36}$×（5×108-36+0）=14．
故選：D．

點評 本題考查向量數(shù)量積的定義和性質，主要是向量的平方即為模的平方，向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查向量中點的表示形式，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．