Question

12．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（1，0）和點B（-1，0），|$\overrightarrow{OC}$|=1，且∠AOC=x，其中O為坐標(biāo)原點．
（1）若x=$\frac{3π}{4}$，設(shè)點D為線段OA上的動點，求|$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$|的最小值；
（2）若x∈（0，$\frac{π}{2}$），向量$\overrightarrow m=\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow n=（1-cosx，sinx-2cosx）$，求$\overrightarrow m•\overrightarrow n$的最小值及對應(yīng)的x值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)D（t，0）（0≤t≤1），利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最小值．
（2）由題意得$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=1-$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），再利用正弦函數(shù)的定義域和值域 求出它的最小值．

解答 解：（1）設(shè)D（t，0）（0≤t≤1），由題易知C（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
所以$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$+t，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
所以|$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$|²=$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$t+t²+$\frac{1}{2}$=t²-$\sqrt{2}$t+1
=（t-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+$\frac{1}{2}$（0≤t≤1），
所以當(dāng)t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，|$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$|最小，為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）由題意，得C（cos x，sin x），
m=$\overrightarrow{BC}$=（cos x+1，sin x），
則m•n=1-cos2x+sin2x-2sin xcos x=1-cos 2x-sin 2x=1-$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
因為x∈[0，$\frac{π}{2}$]，所以$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
所以當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{8}$時，
sin（2x+$\frac{π}{4}$）取得最大值1，
所以m•n的最小值為1-$\sqrt{2}$，此時x=$\frac{π}{8}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，兩個向量的數(shù)量積的公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．