Question

已知直線l的參數(shù)方程為

x=5- 3 2 t y=- 3 + 1 2 t

（t參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ4cos（θ-

π

3

）．
（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系；
（2）若點(diǎn)P（x，y）在圓C上，求

3

x+y的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）將直線l的參數(shù)方程、圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式，求出圓心到直線l的距離d，再比較d與r的大小關(guān)系判斷出直線與圓的位置關(guān)系；
（2）根據(jù)圓C的參數(shù)方程設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入

3

x+y利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求

3

x+y的范圍．

解答： 解：（1）因?yàn)橹本�l的參數(shù)方程為

x=5- 3 2 t y=- 3 + 1 2 t

（t參數(shù)），
所以直線直角坐標(biāo)方程為：x+

3

y-2=0，
由ρ=4cos（θ-

π

3

）得，ρ2=4ρcos(θ-

π

3

)，即ρ2=2ρcosθ+2

3

ρsinθ，
所以x2+y2=2x+2

3

y，則圓C的方程是：(x-1)2+(y-

3

)2=4，
則圓心到直線的距離d=

|1+3-2|

1+3

=1＜2=r，所以直線與圓相交；
（2）令

x=1+2cosθ y= 3 +2sinθ

（θ為參數(shù)），
所以

3

x+y=

3

（1+2cosθ）+

3

+2sinθ
=2（sinθ+

3

cosθ）+2

3

=4sin（θ+

π

3

）+2

3

，
因?yàn)?1≤sin（θ+

π

3

）≤1，所以2

3

-4≤sin（θ+

π

3

）+2

3

≤2

3

+4，
所以

3

x+y的取值范圍是[2

3

-4，2

3

+4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)，及幾何法判斷出直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．