Question

3．在（$\sqrt{3}$x+$\root{3}{2}$）¹⁰⁰展開式所得的x的多項式中，系數(shù)為有理數(shù)的項有（　　）

• A． 16項
• B． 17項
• C． 24項
• D． 50項

Answer 1

分析 根據(jù)二項式（$\sqrt{3}$x+$\root{3}{2}$）¹⁰⁰展開式的通項公式，寫出x的系數(shù)，分析系數(shù)特點，求出滿足條件的r有多少即可．

解答 解：（$\sqrt{3}$x+$\root{3}{2}$）¹⁰⁰展開式中，通項公式為
T_r+1=C₁₀₀^r•（$\sqrt{3}$x）^100-r•（$\root{3}{2}$）^r
=C₁₀₀^r•（$\sqrt{3}$）^100-r•（$\root{3}{2}$）^r•x^100-r，
若x的系數(shù)為有理數(shù)，即（$\sqrt{3}$）^100-r•（$\root{3}{2}$）^r為有理數(shù)，
則100-r為2的倍數(shù)，r為3的倍數(shù)，
設(shè)r=3n，則100-3n為2的整數(shù)倍，
分析可得，有r=0，6，12，18，24，…，96共17個符合條件，
故選：B．

點評 本題考查了二項式定理的應(yīng)用問題以及整數(shù)的整除性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．