已知拋物線C:的焦點(diǎn)為F,直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P,與C的交點(diǎn)為Q,且.
(1)求拋物線C的方程;
(2)過F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),若AB的垂直平分線與C相交于M,N兩點(diǎn),且A,M,B,N四點(diǎn)在同一個(gè)圓上,求直線l的方程.
(1);(2)x-y-1=0或x+y-1=0.
解析試題分析:(1)設(shè)Q(x0,4),代入由中得x0=,在根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得,解出p即可
(2)設(shè)直線l的方程為,(m≠0)代入中得,直線的方程為,將上式代入中,并整理得.A(x1,y1),B(x2,y2), M(x3,y3),N(x4,y4),根據(jù)二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系可得y1+y2=4m,y1y2=-4,.然后求出MN的中點(diǎn)為E和AB的中點(diǎn)為D坐標(biāo)的表達(dá)式,計(jì)算的表達(dá)式,根據(jù)求出m即可.
試題解析:(1)設(shè)Q(x0,4),代入由中得x0=,
所以,由題設(shè)得,解得p=-2(舍去)或p=2.
所以C的方程為.
(2)依題意知直線l與坐標(biāo)軸不垂直,故可設(shè)直線l的方程為,(m≠0)代入中得
,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4m,y1y2=-4,
故AB的中點(diǎn)為D(2m2+1,2m),,
有直線的斜率為-m,所以直線的方程為,將上式代入中,并整理得
.
設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),則.
故MN的中點(diǎn)為E().
由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四點(diǎn)在同一個(gè)圓上等價(jià)于,從而,即,化簡得
m2-1=0,解得m=1或m=-1,
所以所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.
考點(diǎn):1.拋物線的性質(zhì)和方程;2.直線方程以及直線與曲線的位置關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓 的離心率為,過的左焦點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)的右焦點(diǎn)為,在圓上是否存在點(diǎn),滿足,若存在,指出有幾個(gè)這樣的點(diǎn)(不必求出點(diǎn)的坐標(biāo));若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知圓C:(x-4)2+(y-m)2=16(m∈N*),直線4x-3y-16=0過橢圓E:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn),且被圓C所截得的弦長為,點(diǎn)A(3,1)在橢圓E上.
(1)求m的值及橢圓E的方程;
(2)設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求·的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
給定橢圓,稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,半徑為的圓是橢圓C的“伴隨圓”,已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是.
(1)若橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)滿足,求橢圓C及其“伴隨圓”的方程;
(2)在(1)的條件下,過點(diǎn)作直線l與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn),且截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長為,求P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)已知,是否存在a,b,使橢圓C的“伴隨圓”上的點(diǎn)到過兩點(diǎn)的直線的最短距離.若存在,求出a,b的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知F1,F(xiàn)2是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P(-,1)在橢圓上,線段PF2與y軸的交點(diǎn)M滿足+=0.
(1)求橢圓C的方程;
(2)橢圓C上任一動(dòng)點(diǎn)N(x0,y0)關(guān)于直線y=2x的對稱點(diǎn)為N1(x1,y1),求3x1-4y1的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),離心率為,左右焦點(diǎn)分別為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn),與以為直徑的圓交于兩點(diǎn),且滿足,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分13分)
已知雙曲線的兩條漸近線分別為.
(1)求雙曲線的離心率;
(2)如圖,為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)直線分別交直線于兩點(diǎn)(分別在第一,四象限),且的面積恒為8,試探究:是否存在總與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線?若存在,求出雙曲線的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),離心率,直線與橢圓交于,兩點(diǎn),向量,,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)直線過橢圓的焦點(diǎn)(為半焦距)時(shí),求直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),且恰好與直線相切,設(shè)點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn),軸于點(diǎn),且動(dòng)點(diǎn)滿足,設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線
(1)求曲線C的方程,
(2)直線l與直線l,垂直且與曲線C交于B、D兩點(diǎn),求△OBD面積的最大值.
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