Question

14．已知函數(shù) f（x）=$\frac{a}{x}$+xlnx，g（x）=x³-x²-5，若對任意的x₁，x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（x₁）-g（x₂）≥2成立，則a的取值范圍是[1，+∞）．

Answer 1

分析 對任意的x₁，x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（x₁）-g（x₂）≥2成立等價于f（x）≥2+g（x）_max．求得g（x）的最大值，進一步利用分離參數(shù)法，構造函數(shù)法，求得單調(diào)區(qū)間和最值，即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：對任意的x₁，x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（x₁）-g（x₂）≥2成立
等價于f（x）≥2+g（x）_max．
由g（x）=x³-x²-5的導數(shù)g′（x）=3x²-2x=x（3x-2），
在[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）上，g′（x）＜0，g（x）遞減；在（$\frac{2}{3}$，2）上，g′（x）＞0，g（x）遞增．
g（2）=-1，g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{41}{5}$，可得g（x）_max=-1，
可得在[$\frac{1}{2}$，2]上，f（x）=$\frac{a}{x}$+xlnx≥1恒成立，等價于a≥x-x²lnx恒成立．
記h（x）=x-x²lnx，則h′（x）=1-2xlnx-x且h′（1）=0，
∴當$\frac{1}{2}$＜x＜1時，h′（x）＞0；當1＜x＜2時，h′（x）＜0，
∴函數(shù)h（x）在（$\frac{1}{2}$，1）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，
∴h（x）_max=h（1）=1．
∴a≥1．
故答案為：[1，+∞）．

點評 本題考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查導數(shù)在研究函數(shù)問題中的應用、由不等式恒成立求解參數(shù)范圍，考查了劃歸與轉化的思想，屬于中檔題．