Question

18．已知函數(shù)f（x）=ln（x-1）+$\frac{ax}{x+1}$（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，4）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線4x-3y-2=0相切，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由題意可得f′（x）≥對(duì)任意x∈（1，4）恒成立，分離參數(shù)a，可得a≥$\frac{（x+1）^{2}}{1-x}$，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）=$\frac{（x+1）^{2}}{1-x}$在（1，4）上的最大值得答案；
（2）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，可得切線斜率，再由兩函數(shù)在切點(diǎn)處的函數(shù)值相等求得a的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ln（x-1）+$\frac{ax}{x+1}$，
則f′（x）=$\frac{1}{x-1}+\frac{ax+a-ax}{（x+1）^{2}}=\frac{1}{x-1}+\frac{a}{（x+1）^{2}}$，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，4）上單調(diào)遞增，
∴$\frac{1}{x-1}+\frac{a}{（x+1）^{2}}≥0$在x∈（1，4）上恒成立．
即a≥$\frac{（x+1）^{2}}{1-x}$在x∈（1，4）上恒成立．
令g（x）=$\frac{（x+1）^{2}}{1-x}$，則g′（x）=$-\frac{（x+1）（x-3）}{（1-x）^{2}}$．
當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)x∈（3，4）時(shí)，g′（x）＜0．
∴g（x）在（1，3）上為增函數(shù)，在（3，4）上為減函數(shù)，
∴g（x）_max=g（3）=-8．
則a≥-8；
（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），則f′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}-1}+\frac{a}{（{x}_{0}+1）^{2}}$，①
則$\frac{1}{{x}_{0}-1}+\frac{a}{（{x}_{0}+1）^{2}}=\frac{4}{3}$，②
f（x₀）=$ln（{x}_{0}-1）+\frac{a{x}_{0}}{{x}_{0}+1}=\frac{4{x}_{0}}{3}-\frac{2}{3}$，③
聯(lián)立①，②，③得$\frac{4{x}_{0}-2}{3}=ln（{x}_{0}+1）+（\frac{4}{3}-\frac{1}{{x}_{0}-1}）（{x}_{0}+1）{x}_{0}$，
即$ln（{x}_{0}-1）+\frac{4{{x}_{0}}^{3}-7{{x}_{0}}^{2}-{x}_{0}-2}{3（{x}_{0}-1）}=0$．
令g（x）=$ln（x-1）+\frac{4{x}^{3}-7{x}^{2}-x-2}{3（x-1）}（x＞1）$，
g′（x）=$\frac{x（8{x}^{2}-19x+17）}{3（x-1）^{2}}$，令h（x）=8x²-19x+17，△＜0，
∴h（x）＞0恒成立，
∴g′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，即g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
∵g（2）=0，∴x₀=2，a=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了恒成立問題的求解方法，考查計(jì)算能力，屬中檔題．