Question

13．已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，且a₃，a₅，a₁₅成等比數(shù)列，若a₁=3，S_n為數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和，則a_n•S_n的最小值為（　　）

• A． 0
• B． -3
• C． -20
• D． 9

Answer 1

分析 由等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列性質(zhì)列出方程，求出d=-2或d=0，由此能求出a_n•S_n的最小值．

解答 解：∵等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，且a₃，a₅，a₁₅成等比數(shù)列，a₁=3，
∴（3+4d）²=（3+2d）（3+14d），
解得d=-2或d=0，
當(dāng)d=0時(shí)，a_n=3，S_n=3n，a_nS_n=9n，
當(dāng)n=1時(shí)，a_n•S_n取最小值9；
當(dāng)d=-2時(shí)，a_n=3+（n-1）（-2）=5-2n，
S_n=3n+$\frac{n（n-1）}{2}×（-2）$=4n-n²，
a_n•S_n=（5-2n）（4n-n²）=2n³-13n²+20n，
設(shè)f（n）=2n³-13n²+20n，則f′（n）=6n²-26n+20=6（n-$\frac{13}{6}$）²-$\frac{49}{6}$，
∴當(dāng)n=3時(shí)，a_n•S_n取最小值：2×27-13×9+20×3=-3．
綜上，a_n•S_n取最小值為-3．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的第n項(xiàng)與前n項(xiàng)和的積的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．