【題目】已知拋物線y2=2px(p>0),其準(zhǔn)線方程為x+1=0,直線l過點(diǎn)T(t,0)(t>0)且與拋物線交于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求拋物線方程,并證明: 的值與直線l傾斜角的大小無關(guān);
(2)若P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),記|PT|的最小值為函數(shù)d(t),求d(t)的解析式.
【答案】
(1)解:由題意可知:準(zhǔn)線方程x=﹣1,則﹣ =﹣1,則p=2,
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=4x,
證明:若直線l的斜率不存在,則其方程為x=t,代入y2=4x得,A(t,2 ),B(t,﹣2 ),
則 =t2﹣4t,
則若直線l的斜率存在,設(shè)其斜率為 (k≠0),則l的方程為x=my+t,
聯(lián)立 ,整理得:y2﹣4ky﹣4t=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4k,y1y2=﹣4t,
x1x2=(my1+t)(my2+t)=m2y1y2+mt(y1+y2)+t2=t2.
=x1x2+y1y2=t2﹣4t,
綜上, 的值t2﹣4t與直線l傾斜角的大小無關(guān)
(2)解:設(shè)P(x,2 ),則丨PT丨2=(x﹣t)2+(2 ﹣0)2=x2﹣2(t﹣2)x+t2,(x>0),
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知:當(dāng)對稱軸x=t﹣2<0,即0<t<2時(shí),當(dāng)x=0時(shí),丨PT丨取最小值,最小值為t,
當(dāng)t﹣2≥0時(shí),即x=t﹣2時(shí),取最小值,丨PT丨取最小值,最小值為2 ,
d(t)的解析式,d(t)=
【解析】(1)由題意可知p=2,求得拋物線方程,當(dāng)直線斜率存在時(shí),代入拋物線方程,利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,即可求得 的值與直線l傾斜角的大小無關(guān);(2)利用點(diǎn)到直線的距離公式及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得|PT|的最小值,求得d(t)的解析式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左右頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,一條準(zhǔn)線方程是,點(diǎn)為橢圓上異于的兩點(diǎn),點(diǎn)為的中點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線交直線于點(diǎn),記直線的斜率為,直線的斜率為,求證:為定值;
(3)若,求直線斜率的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在幾何體A1B1D1﹣ABCD中,四邊形A1B1BA與A1D1DA均為直角梯形,且AA1⊥底面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=2A1D1=2A1B1=4,AA1=4,P為DD1的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AB1⊥PC;
(Ⅱ)求幾何體A1B1D1﹣ABCD的表面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)= ,若曲線f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線與直線e2x﹣y+e=0垂直(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)若f(x)在(m,m+1)上存在極值,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)求證:當(dāng)x>1時(shí), > .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù),為偶函數(shù),函數(shù)的圖象與直線相切.
(1)求的解析式;
(2)已知函數(shù)且,求的單調(diào)遞減區(qū)間和極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sinωx﹣ cosωx(ω>0),若方程f(x)=﹣1在(0,π)上有且只有四個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)ω的取值范圍為( )
A.( , ]
B.( , ]
C.( , ]
D.( , ]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在幾何體ABCDEF中,四邊形ABCD是菱形,BE⊥平面ABCD,DF∥BE,且DF=2BE=2,EF=3.
(1)證明:平面ACF⊥平面BEFD
(2)若二面角A﹣EF﹣C是二面角,求直線AE與平面ABCD所成角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題關(guān)于的不等式的解集是,命題函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.
(1)如果為真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)如果為真命題, 為假命題, 求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線C1:x=﹣2,圓C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求C1 , C2的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ= (ρ∈R),設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M,N,求△C2MN的面積.
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