Question

10．為了研究某學科成績是否與學生性別有關，采用分層抽樣的方法，從高二年級抽取了30名男生和20名女生的該學科成績，得到如圖所示男生成績的頻率分布直方圖和女生成績的莖葉圖，規(guī)定80分以上為優(yōu)分（含80分）．

（Ⅰ）（i）請根據圖示，將2×2列聯表補充完整；

	優(yōu)分	非優(yōu)分	總計
男生
女生
總計			50

（ii）據列聯表判斷，能否在犯錯誤概率不超過10%的前提下認為“學科成績與性別有關”？
（Ⅱ）將頻率視作概率，從高二年級該學科成績中任意抽取3名學生的成績，求成績?yōu)閮?yōu)分人數X的分布列與數學期望．
參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$（n=a+b+c+d）．
參考數據：

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）列出2×2列聯表，計算k²的值，判斷即可；（Ⅱ）根據優(yōu)分人數X服從二項分布$B（3，\frac{2}{5}）$，求出E（x）即可．

解答 解：（Ⅰ）根據圖示，將2×2列聯表補充完整如下：

	優(yōu)分	非優(yōu)分	總計
男生	9	21	30
女生	11	9	20
總計	20	30	50

K²的觀測值：$k=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}=\frac{{50×{{（9×9-11×21）}^2}}}{20×30×20×30}=3.125＞2.706$，
所以能在犯錯誤概率不超過10%的前提下認為該學科成績與性別有關；  
（Ⅱ）由于有較大的把握認為該學科成績與性別有關，
因此可將男女生成績的優(yōu)分頻率$f=\frac{20}{50}=\frac{2}{5}$視作概率；
從高二年級中任意抽取3名學生的該學科成績中，
優(yōu)分人數X服從二項分布$B（3，\frac{2}{5}）$，
P（X=k）=$C_3^k{（\frac{2}{5}）^k}{（\frac{3}{5}）^{3-k}}，k=0，1，2，3$

X	0	1	2	…（10分） 3
p	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

X的分布列為：數學期望$E（X）=3×\frac{2}{5}=\frac{6}{5}$．

點評 本題考查了2×2列聯表，考查二項分布和數學期望，是一道中檔題．