Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ．
（Ⅰ）判斷直線l與圓C的交點個數(shù)；
（Ⅱ）若圓C與直線l交于A，B兩點，求線段AB的長度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t，能求出直線l的普通方程，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，能求出圓C的直角坐標(biāo)方程，由此得到圓心（0，1）在直線l上，從而能求出直線l與圓C的交點個數(shù)．
（Ⅱ）由AB為圓C的直徑，能求出|AB|的值．

解答 解：（Ⅰ）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
∴消去參數(shù)t得直線l的普通方程為$\sqrt{3}x+y-1=0$，
∵圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，
∴由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，得圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2y=0．
∵圓心（0，1）在直線l上，
∴直線l與圓C的交點個數(shù)為2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知圓心（0，1）在直線l上，
∴AB為圓C的直徑，
∵圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2y=0．
∴圓C的半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{4}$=1，∴圓C的直徑為2，∴|AB|=2．

點評 本題考查直線與圓的交點個數(shù)的判斷，考查弦長的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程的互化公式的合理運用．