Question

17．設(shè)a，b均為正數(shù)，且a+b=1，
（Ⅰ）求證：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$≥4；
（Ⅱ）求證：$\frac{1}{{a}^{2016}}$+$\frac{1}{^{2016}}$≥2²⁰¹⁷．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（Ⅱ）根據(jù)基本不等式進行證明即可．

解答 （Ⅰ）證明：∵a，b為兩個的正數(shù)，且a+b=1，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）=2+$\frac{a}$+$\frac{a}$≥2+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$時取等號．
而a≠b，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$≥4；
（Ⅱ）證明：∵a，b為兩個的正數(shù)，a+b=1，
∴$\frac{1}{{a}^{2016}}$+$\frac{1}{^{2016}}$≥2$\sqrt{\frac{1}{{a}^{2016}}•\frac{1}{^{2016}}}$=2×（$\frac{1}{ab}$）¹⁰⁰⁸=2×4¹⁰⁰⁸=2²⁰¹⁷，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$時取等號．
∴$\frac{1}{{a}^{2016}}$+$\frac{1}{^{2016}}$≥2²⁰¹⁷．

點評 本題考查了“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)，正確理解“一正二定三相等”的使用法則是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．