分析 (Ⅰ)聯(lián)立求直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程:$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=-x}\\{y=k({x+1})}\end{array}}\right.$,消去y,可得k2x2+(2k2+1)x+k2=0,利用$\left\{{\begin{array}{l}{{k^2}≠0}\\{△={{({2{k^2}+1})}^2}-4{k^2}•{k^2}>0}\end{array}}\right.$,即可求得k的取值范圍;
(Ⅱ)由$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=-x}\\{y=k({x+1})}\end{array}}\right.$,得ky2+y-k=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由韋達(dá)定理y1•y2=-1,kOA•kOB=-1即可證得OA⊥OB.
解答 解:(Ⅰ)聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程:$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=-x}\\{y=k({x+1})}\end{array}}\right.$,消去y,整理得k2x2+(2k2+1)x+k2=0,
∵拋物線(xiàn)和直線(xiàn)相交于兩點(diǎn),
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{k^2}≠0}\\{△={{({2{k^2}+1})}^2}-4{k^2}•{k^2}>0}\end{array}}\right.$,不等式組恒成立,即解得k∈R且k≠0.
(Ⅱ)證明:聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程:$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=-x}\\{y=k({x+1})}\end{array}}\right.$,消去y,整理得ky2+y-k=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由韋達(dá)定理y1•y2=-1,
∵點(diǎn)A,B在拋物線(xiàn)y2=-x上,
∴$y_1^2=-{x_1}$,$y_2^2=-{x_2}$,${x_1}•{x_2}=y_1^2•y_2^2$,
∵kOA•kOB=$\frac{y_1}{x_1}•\frac{y_2}{x_2}$=$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}$=$\frac{1}{{{y_1}{y_2}}}$=-1,
所以O(shè)A⊥OB.
點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查方程思想與運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.
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