分析 (Ⅰ)取CD中點(diǎn)P,連接PM,PN,可得MP∥AC,則MP∥平面ABC.再由已知證明NP∥平面ABC.得到平面MNP∥平面ABC,則MN∥平面ABC;
(Ⅱ)取BC中點(diǎn)O,連OA,OE,可證AO⊥BC,OE⊥BC.分別以O(shè)E,OC,OA所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.求出所用點(diǎn)的坐標(biāo),得到平面BMN的法向量,求出<$\overrightarrow{AN},\overrightarrow{n}$>的余弦值,即可得到直線AN與平面MNB所成角的正弦值.
解答 解:(Ⅰ)當(dāng)$λ=\frac{1}{2}$,即M為AF中點(diǎn)時(shí)MN∥平面ABC.
事實(shí)上,取CD中點(diǎn)P,連接PM,PN,
∵AM=MF,CP=PD,∴MP∥AC,
∵AC?平面ABC,MP?平面ABC,∴MP∥平面ABC.
由CP∥PD,CN∥NE,得NP∥DE,
又DE∥BC,∴NP∥BC,
∵BC?平面ABC,NP?平面ABC,∴NP∥平面ABC.
∴平面MNP∥平面ABC,則MN∥平面ABC;
(Ⅱ)取BC中點(diǎn)O,連OA,OE,
∵AB=AC,OB=OC,∴AO⊥BC,
∵平面ABC⊥平面BCDE,且AO?平面ABC,∴AO⊥平面BCDE,
∵OC=$\frac{1}{2}BC=ED$,BC∥ED,∴OE∥CD,
又CD⊥BC,∴OE⊥BC.
分別以O(shè)E,OC,OA所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
則A(0,0,$\sqrt{3}$),C(0,1,0),E(1,0,0),$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=(0,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$,
∴F(1,$\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),M($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{4}$,$\frac{3\sqrt{3}}{4}$),N($\frac{1}{2},\frac{1}{2},0$).
設(shè)$\overrightarrow{n}=(x,y,z)$為平面BMN的法向量,則
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BN}=\frac{x}{2}+\frac{3}{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MN}=-\frac{y}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{4}z=0}\end{array}\right.$,取z=1,得$\overrightarrow{n}=(-9\sqrt{3},3\sqrt{3},1)$.
cos<$\overrightarrow{AN},\overrightarrow{n}$>=$\frac{-4\sqrt{6}}{\sqrt{1897}}$.
∴直線AN與平面MNB所成角的正弦值為$\frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{1897}}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定,考查空間想象能力和思維能力,訓(xùn)練了利用空間向量求線面角,是中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (-∞,0)∪(0,$\frac{1}{2}$) | B. | (-∞,$\frac{1}{2}$) | C. | ($\frac{1}{2}$,+∞) | D. | (0,$\frac{1}{2}$) |
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A. | $[{\frac{π}{12},\frac{π}{4}}]$ | B. | $[{\frac{π}{6},\frac{5π}{12}})$ | C. | $[{\frac{π}{6},\frac{π}{3}}]$ | D. | $({\frac{π}{6},\frac{π}{4}}]$ |
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A. | $\frac{1}{8}$ | B. | $-\frac{1}{8}$ | C. | $\frac{7}{8}$ | D. | $-\frac{7}{8}$ |
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A. | ?x0>2,${2^{x_0}}-3≤0$ | B. | ?x≤2,2x-3>0 | C. | ?x>2,2x-3≤0 | D. | ?x0>2,${2^{x_0}}-3>0$ |
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A. | [0,+∞) | B. | (1,+∞) | C. | [0,1) | D. | (0,+∞) |
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A. | ?x≤0,lnx0>x0 | B. | ?x≤0,lnx0≥x0 | C. | ?x>0,lnx0≥x0 | D. | ?x>0,lnx0<x0 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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