【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= ﹣2x+ln(x+1)(m∈R).
(Ⅰ)判斷x=1能否為函數(shù)f(x)的極值點,并說明理由;
(Ⅱ)若存在m∈[﹣4,﹣1),使得定義在[1,t]上的函數(shù)g(x)=f(x)﹣ln(x+1)+x3在x=1處取得最大值,求實數(shù)t的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)定義域為(﹣1,+∞), ,令f'(1)=0,得 ; 當 時, ,當x∈ 和(1,+∞)時,f′(x)>0,當x∈ 時f′(x)<0,
于是f(x)在 單調(diào)遞增,在 單調(diào)遞減,在(1,+∞)單調(diào)遞增.
故當 時,x=1是f(x)的極小值點;
(Ⅱ) .
由題意,當x∈[1,t]時,g(x)≤g(1)恒成立,
易得 ,令 ,
∵h(x)必然在端點處取得最大值,即h(t)≤0
即 ,即 ,
∵m∈[﹣4,﹣1),∴ ,解得, ,
所以t的最大值為
【解析】(Ⅰ)由f′(1)=0,求得m的值,將m的值代入f(x)解析式中,求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,看f(x)在x=1的兩側(cè)的單調(diào)性是否相反,如果相反則x=1是函數(shù)f(x)的極值點;(Ⅱ)由題意知,g(x)﹣g(1)≤0在[1,t]上恒成立,構(gòu)造函數(shù) ,根據(jù)m的范圍求出t的取值范圍,得出t的最大值.
【考點精析】利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.
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【題目】直線l過P(1,2),且A(2,3),B(4,﹣5)到l的距離相等,則直線l的方程是( )
A.4x+y﹣6=0
B.x+4y﹣6=0
C.3x+2y﹣7=0或4x+y﹣6=0
D.2x+3y﹣7=0或x+4y﹣6=0
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【題目】若在曲線f(x,y)=0(或y=f(x))上兩個不同點處的切線重合,則稱這條切線為曲線f(x,y)=0或y=f(x)的“自公切線”.下列方程:
①x2﹣y2=1;
②y=x2﹣|x|;
③y=3sinx+4cosx;
④|x|+1=
對應的曲線中存在“自公切線”的有( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
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【題目】在平面直角坐標系中,已知曲線的參數(shù)方程為(, 為參數(shù)).以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸,取相同的長度單位建立極坐標系,直線的極坐標方程為.
(1)當時,求曲線上的點到直線的距離的最大值;
(2)若曲線上的所有點都在直線的下方,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知A,B兩地的距離是120km,按交通法規(guī)規(guī)定,A,B兩地之間的公路車速應限制在50~100km/h,假設(shè)汽油的價格是6元/升,以xkm/h速度行駛時,汽車的耗油率為 ,司機每小時的工資是36元,那么最經(jīng)濟的車速是多少?如果不考慮其他費用,這次行車的總費用是多少?
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【題目】如圖,四棱錐中,底面為梯形, 底面, , , , .
(1)求證:平面 平面;
(2)設(shè)為上的一點,滿足,若直線與平面所成角的正切值為,求二面角的余弦值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2cos2ωx+2sinωxcosωx(ω>0)的最小正周期為π.
(1)求f( )的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
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【題目】(本小題滿分13分)設(shè)關(guān)于的一元二次方程 ()有兩根和,且滿足.
(1)試用表示;
(2)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(3)當時,求數(shù)列的通項公式,并求數(shù)列的前項和.
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