Question

17．已知定義在R上的函數(shù)$f（x）=\frac{{b-{2^x}}}{{{2^x}+a}}$是奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）判斷f（x）的單調性，并用函數(shù)的單調性定義證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)是奇函數(shù)，通過定義利用待定系數(shù)法求解即可．
（2）利用函數(shù)的單調性的定義證明求解即可．

解答 解：（1）因為$f（x）=\frac{{b-{2^x}}}{{{2^x}+a}}$定義域為R且是奇函數(shù)，故f（-x）=f（x）對于任意x∈R恒成立，
即有$f（-x）+f（x）=\frac{{b-{2^{-x}}}}{{{2^{-x}}+a}}+\frac{{b-{2^x}}}{{{2^x}+a}}$=$\frac{{（b-a）（{2^x}+{2^{-x}}）+2ab-2}}{{（{2^{-x}}+a）（{2^x}+a）}}=0$對于任意x∈R恒成立，
于是有$\left\{\begin{array}{l}b-a=0\\ 2ab-2=0\end{array}\right.$解得a=b=1或a=b=-1，
又f（x）的定義域為R，所以a≥0，
故所求實數(shù)a，b的值分別為a=1，b=1．
（2）由（1）可得函數(shù)f（x）的解析式為$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{{2^x}+1}}$，f（x）在定義域R上為單調減函數(shù)．
用函數(shù)的單調性定義證明如下：
在定義域R上任取兩個自變量的值x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{1-{2^{x_1}}}}{{{2^{x_1}}+1}}-\frac{{1-{2^{x_2}}}}{{{2^{x_2}}+1}}=\frac{{2（{2^{x_2}}-{2^{x_1}}）}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}$，
∵x₁＜x₂，∴${2^{x_2}}-{2^{x_1}}＞0$，
又${2^{x_1}}+1＞0$，${2^{x_2}}+1＞0$，
故有f（x₁）-f（x₂）＞0，即有f（x₁）＞f（x₂），
因此，根據(jù)函數(shù)單調性的定義可知，函數(shù)f（x）在定義域R上為減函數(shù)．

點評 本題考查函數(shù)的與方程的應用，考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調性的應用，考查轉化思想以及計算能力．