Question

4．已知P和不共線三點A，B，C四點共面且對于空間任一點O，都有$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{OC}$，則λ=2．

Answer 1

分析 由條件求出$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{BP}$、$\overrightarrow{CP}$，根據(jù)題意可得存在m，n∈R使得$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{BP}$+n$\overrightarrow{CP}$，由此求得m、n、λ的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{OC}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{0A}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OA}$-λ$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+（λ-1）$\overrightarrow{OC}$，
∵P，A，B，C四點共面，∴存在m，n∈R使得$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{BP}$+n$\overrightarrow{CP}$，
即  $\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{OC}$=m（2$\overrightarrow{OA}$-λ$\overrightarrow{OC}$）+n[2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+（λ-1）$\overrightarrow{OC}$]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m+2n=1}\\{n=1}\\{-mλ+n（λ-1）=λ}\end{array}\right.$，
求得m=-$\frac{1}{2}$，n=1，λ=2，
故答案為：2．

點評 本題考查了平面向量的基本道理及線性運算，列出方程組是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．