Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線截以原點為圓心的圓所得的弦長為。

（1）求圓的方程；

（2）若直線與圓切于第一象限，且與坐標軸交于點，當長最小時，求直線的方程；

（3）設是圓上任意兩點，點關于軸的對稱點，若直線分別交軸于點和，問是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）是，。

【解析】

試題分析：（1）求出點到直線的距離，進而可求圓的半徑，即可得到圓的方程；（2）設直線的方程，利用直線與圓相切，及基本不等式，可求長最小時，直線的方程；（3）設，則，求出直線，分別與軸交點，進而可求的值。

試題解析：（1）因為點到直線的距離為，所以圓的半徑為，故圓的方程為。

（2）設直線的方程為，即，由直線與圓相切，得，即，，當且僅當時取等號，此時直線的方程為，所以當長最小進，直線的方程為。

（3）設點，則，

直線與軸交點為，則，

直線與軸交點為，則，

所以，故為定值2。