Question

18．已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓的一個頂點坐標為（0，1），其離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$
（1）求橢圓的標準方程；
（2）橢圓上一點P滿足∠F₁PF₂=60°，其中F₁，F(xiàn)₂為橢圓的左右焦點，求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的方程，則b=1，根據(jù)橢圓的離心率即可求得a的值，即可求得橢圓方程；
（2）根據(jù)余弦定理，即可求得丨PF₁丨•丨PF₁丨，利用三角形的面積公式即可求得△F₁PF₂的面積．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
橢圓的一個頂點為（0，1）則b=1，…（2分）
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得：a²=3，…（4分）
橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；       …（6分）
（2）設(shè)丨PF₁丨=n，丨PF₂丨=m，∠F₁PF₂=60°，
由余弦定理可知：丨F₁F₂丨²=丨PF₁丨²+丨PF₂丨²-2丨PF₁丨•丨PF₁丨cos60°，
4c²=m²+n²-2mncos60°=（m+n）²-3mn=4a²-3mn，
則4×（$\sqrt{2}$）²=4a²-3mn，解得：mn=$\frac{4}{3}$，
即丨PF₁丨•丨PF₁丨=$\frac{4}{3}$，…（8分）
△F₁PF₂的面積S=$\frac{1}{2}$×丨PF₁丨丨PF₁丨×sin∠F₁PF₂，
∴${S_{△{F_1}P{F_2}}}=\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
△F₁PF₂的面積$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查余弦定理，三角形的面積公式，考查計算能力，屬于中檔題．