Question

16．已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前4項的和為20，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）設(shè)b_n=n•2^a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項的和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式求得2a₁+3d=10，由等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求得a₁=d，聯(lián)立即可求得d=2，a₁=2，利用等差數(shù)列通項公式即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由b_n=n•${2}^{{a}_{n}}$=n•4ⁿ，利用“錯位相減法”即可求得數(shù)列{b_n}的前n項的和S_n．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由${S_4}=4{a_1}+\frac{4×3}{2}d=20$，即2a₁+3d=10，①
由a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，則a₂²=a₁•a₄，
則（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），整理得：a₁=d，②
由①②解得d=2，a₁=2
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n，
數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2n；…（6分）
（2）由（1）可知：b_n=n•${2}^{{a}_{n}}$=n•4ⁿ，
${S_n}=1×4+2×{4^2}+3×{4^3}+…+n×{4^n}$，
$4{S_n}=1×{4^2}+2×{4^3}+…+（n-1）×{4^n}+n×{4^{n+1}}$…（10分）
所以-3S_n=4+4²+4³+…+4ⁿ-n×4ⁿ⁺¹，
=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$-n×4ⁿ⁺¹，
從而${S_n}=\frac{{（3n-1）×{4^{n+1}}+4}}{9}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項的和S_n，${S_n}=\frac{{（3n-1）×{4^{n+1}}+4}}{9}$．…（14分）

點評 本題考查等比數(shù)列性質(zhì)，等差數(shù)列通項公式，“錯位相減法”求數(shù)列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．