Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+5，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=3x+1．
（1）求f（x）的表達式；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知切線的方程可得切點坐標(biāo)和切線的斜率，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，解關(guān)于a，b的方程組，即可得到所求f（x）的解析式；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，并分解因式，求出在區(qū)間（-3，1）的單調(diào)區(qū)間和極值，求得f（-3）和f（1），比較即可得到所求最大值．

解答 解：（1）∵y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=3x+1，
∴f（1）=3×1+1=4且切線的斜率為f'（1）=3．
又∵f'（x）=3x²+2ax+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（1）=1+a+b+5=4\\ f'（1）=3+2a+b=3\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-4\end{array}\right.$，
∴f（x）=x³+2x²-4x+5．
（2）由（1）知，f（x）=x³+2x²-4x+5，
∴f'（x）=3x²+4x-4=（x+2）（3x-2）．
令f'（x）=0，則x=-2或$x=\frac{2}{3}$，
列表：

x	-3	（-3，-2）	-2	$（-2，\frac{2}{3}）$	$\frac{2}{3}$	$（\frac{2}{3}，1）$	1
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	8	遞增	極大	遞減	極小	遞增	4

∵f（-3）=-27+18+12+5=8，f（-2）=-8+8+8+5=13，f（1）=1+2-4+5=4，
∴f（x）_max=f（-2）=13．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查運算能力，正確求導(dǎo)和運用直線方程是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．