Question

17．已知函數(shù)f（x）=2sin²（x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{3}$cos2x，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=1+2sin（2x-$\frac{π}{3}$），由已知可求范圍$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解其值域．
（Ⅱ）由已知去絕對值可得：f（x）-2＜m＜f（x）+2，解不等式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin²（x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{3}$cos2x
=[1-cos（$\frac{π}{2}$+2x）]-$\sqrt{3}$cos2x
=1+sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
=1+2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
又∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，
∴$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，即2≤1+2sin（2x-$\frac{π}{3}$）≤3，
∴f（x）∈[2，3]．
（Ⅱ）∵|f（x）-m|＜2，可得：f（x）-2＜m＜f（x）+2，
又∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，
∴m＞f（x）_max-2且m＜f（x）_min+2，
∴1＜m＜4，即m的取值范圍是（1，4）．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，不等式的解法及其應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．