Question

18．如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為菱形，AA₁⊥底面ABCD，E為B₁D的中點．
（Ⅰ）證明：平面ACE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若AA₁=AB=1，點C到平面AED的距離為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求三棱錐C-AED的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD，設(shè)AC與BD的交點為F，連接EF，由三角形中位線定理可得EF∥BB₁，進一步得到EF⊥平面ABCD，再由面面垂直的判定可得平面ACE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）連接AB₁，C₁D，CD₁，設(shè)C₁D交CD₁于點G，由題意知四邊形CDD₁C₁為正方形，求得$CG=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，結(jié)合點C到平面AED的距離為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，可得CD₁⊥平面ADE，則CD₁⊥AD，再由AD⊥DD₁，可得AD⊥平面CDD₁C₁，即AD⊥CD，從而得到菱形ABCD為正方形，然后利用等積法求得三棱錐C-AED的體積．

解答 解：（Ⅰ）證明：連接BD，設(shè)AC與BD的交點為F，連接EF，
∵E為B₁D中點，F(xiàn)為BD中點，
∴EF∥BB₁，則EF⊥平面ABCD，
又∵EF?平面ACE，
∴平面ACE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）連接AB₁，C₁D，CD₁，設(shè)C₁D交CD₁于點G，
由題意知四邊形CDD₁C₁為正方形，且CD=AB=1，
得$CG=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
又∵點C到平面AED的距離為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴CD₁⊥平面ADE，則CD₁⊥AD，
又∵AD⊥DD₁，∴AD⊥平面CDD₁C₁，
∴AD⊥CD，
∴菱形ABCD為正方形，由于E到平面ABCD的距離為$\frac{1}{2}$，
∴${V}_{C-ADE}={V}_{E-ADC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$．

點評 本題以四棱柱為載體，考查平面與平面垂直，以及二面角、體積等問題，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．