Question

2．某校高三共有900名學生，高三模擬考之后，為了了解學生學習情況，用分層抽樣方法從中抽出若干學生此次數學成績，按成績分組，制成如下的頻率分布表：

組號	第一組	第二組	第二組	第四組
分組	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
頻數	6	4	22	20
頻率	0.06	0.04	0.22	0.20
組號	第五組	第六組	第七組	第八組
分組	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
頻數	18	a	10	5
頻率	b	0.15	0.10	0.05

（1）若頻數的總和為c，試求a，b，c的值；
（2）為了了解數學成績在120分以上的學生的心理狀態(tài)，現決定在第六、七、八組中用分層抽樣方法抽取6名學生，在這6名學生中又再隨機抽取2名與心理老師面談，令第七組被抽中的學生數為隨機變量ξ，求隨機變量ξ的分布列和數學期望；
（3）估計該校本次考試的數學平均分．

Answer 1

分析 （1）由頻率=$\frac{頻數}{樣本容量}$，能求出a，b，c的值．
（2）第六、七、八組共有30個樣本，用分層抽樣方法抽取6名學生，則每個學生被抽中的概率均為$\frac{1}{5}$．從第七組中抽取的樣本數為$\frac{1}{5}$×10=2．從而隨機變量ξ的可能取值為0，1，2．分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量ξ的分布列和E（ξ）．
（3）根據頻率分布表能估計該校本次考試的數學平均分．

解答 （本題滿分12分）
解：（1）因為頻率和為1，所以b=0.18，
又因為頻率=$\frac{頻數}{樣本容量}$，所以c=100，a=15．…（4分）
（2）第六、七、八組共有30個樣本，用分層抽樣方法抽取6名學生，則每個學生被抽中的概率均為$\frac{1}{5}$．
所以從第七組中抽取的樣本數為$\frac{1}{5}$×10=2．
所以隨機變量ξ的可能取值為0，1，2．
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{2}^{0}{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{4}^{0}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$．
∴隨機變量ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

所以E（ξ）=0×$\frac{2}{5}$+1×$\frac{8}{15}$+2×$\frac{1}{15}$=$\frac{2}{3}$．…..（10分）
（3）根據頻率分布表估計該校本次考試的數學平均分為：
75×0.06+85×0.04+95×0.22+105×0.2+115×0.18+125×0.15+135×0.1+145×0.05=110．…（12分）

點評 本題考查考查頻率分布表的應用，考查離散型隨機變量的分布列及數學期望的求法，考查數據處理能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方思想，是中檔題．